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2017-08-27

$f(X)$ を体$k$ 上の重根をもたない $n$ 次の多項式とし(既約とは仮定してません)、その根を $ \alpha, \alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}$ とする。 $$\xi = c\alpha + c_1\alpha_1 + \cdots + c_{n-1}\alpha_{n-1}$$ が、 $\alpha, \alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}$ の任意の置換によってすべて異なる値になるように有理数 $c, c_1, \cdots, c_{n-1}$ を選ぶことができる。
$$\alpha = \theta_0(\xi), \quad \alpha_1 = \theta_1(\xi), \quad \cdots\cdots, \quad \alpha_{n-1} = \theta_{n-1}(\xi)$$ となる、 $\xi$ の $k$ 上の有理式(実は多項式) $\theta_0, \theta_1, \cdots, \theta_{n-1}$ が存在する。

『ガロアを読む』では、はっきり定義されてませんが、次のように $\varphi$ が定義されていると思ってもいいようです。 $$\xi = c\alpha + c_1\alpha_1 + \cdots + c_{n-1}\alpha_{n-1} = \varphi(\alpha, \alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1})$$ $\theta_0, \theta_1, \cdots, \theta_{n-1}$ の存在は、『ガロアを読む』では、ラングランジュの補間式を使う方法で証明されています。

$(\alpha', \alpha_1', \cdots, \alpha'_{n-1}), \ \ (\alpha'', \alpha_1'', \cdots, \alpha''_{n-1}), \ \ \cdots,\ \ (\alpha^{(n!-1)}, \alpha_1^{(n!-1)}, \ \cdots,\ \ \alpha^{(n!-1)}_{n-1})$ を
$(\alpha, \alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1})$ の、どの2つも異なる順列とします。 \begin{eqnarray} \xi &=& \varphi(\alpha, \alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1})\\ \xi_1 &=& \varphi(\alpha', \alpha_1', \cdots, \alpha'_{n-1})\\ \xi_2 &=& \varphi(\alpha'', \alpha_1'', \cdots, \alpha''_{n-1})\\ &\vdots&\\ \xi_{n!-1} &=& \varphi(\alpha^{(n!-1)}, \alpha_1^{(n!-1)}, \cdots, \alpha^{(n!-1)}_{n-1})\\ \end{eqnarray} として、xy座標上(x, y は複素数であったりしますが)の $n!$ 個の点、$(\xi,\alpha),(\xi_1,\alpha'),(\xi_2,\alpha''), \cdots, (\xi_{n!-1},\alpha^{(n!-1)})$ を通る多項式を求めると、対称性から体$k$ 上の多項式であり、$\theta_0$ になっています。これと本質的には同じ方法による証明が『ガロアを読む』に書かれています。
同様に、$(\xi,\alpha_1),(\xi_1,\alpha_1'),(\xi_2,\alpha_1''), \cdots, (\xi_{n!-1},\alpha^{(n!-1)}_1)$ の $n!$ 個の点を通る多項式といて $\theta_1$ が求められます。$\theta_2,\cdots,\theta_{n-1}$ も同様です。
\begin{array}{cccc} \alpha = \theta_0(\xi),& \alpha_1 = \theta_1(\xi),& \cdots\cdots,& \alpha_{n-1} = \theta_{n-1}(\xi)\\ \alpha' = \theta_0(\xi_1),& \alpha_1' = \theta_1(\xi_1),& \cdots\cdots,& \alpha'_{n-1} = \theta_{n-1}(\xi_1)\\ \alpha'' = \theta_0(\xi_2),& \alpha_1'' = \theta_1(\xi_2),& \cdots\cdots,& \alpha''_{n-1} = \theta_{n-1}(\xi_2)\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ \alpha^{(n!-1)} = \theta_0(\xi_{n!-1}),& \alpha_1^{(n!-1)} = \theta_1(\xi_{n!-1}),& \cdots\cdots,& \alpha^{(n!-1)}_{n-1} = \theta_{n-1}(\xi_{n!-1}) \end{array} が、成立しているこになります。
$$k(\xi) \subseteq k(\alpha, \alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1})$$ は自明ですが、$\theta_0, \theta_1, \cdots, \theta_{n-1}$ の存在より $$k(\alpha, \alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}) \subseteq k(\xi)$$ であり、 $$k(\alpha, \alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}) = k(\xi)$$ が示されます。$k(\xi_1), k(\xi_2), \cdots, k(\xi_{n!-1})$ も同様ですから、 $$k(\alpha, \alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}) = k(\xi) = k(\xi_1) = k(\xi_2) = \cdots =k(\xi_{n!-1})$$ となることが分かります。
ところが『ガロアを読む』では、 $k(\alpha, \alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}) = k(\xi_1)$ などを示すのに、議論を必要としています。 $\xi$ の最小多項式の共役根とか、次数がどうの、といった議論です。 $\theta_0, \theta_1, \cdots, \theta_{n-1}$ の存在証明に使ったラングランジュの補間式を調べればいいだけなのですが。
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